关于分数阶 Helmholtz 方程实解的集中性

本文研究非线性分数阶 Helmholtz 方程 \begin{equation}\label{main} (-\Delta)^{s} u-k^{2} u=Q(x)|u|^{p-2}u, ~~\mathrm{in}~~\mathbb{R}^{N},~~N\geq3, \end{equation} 其中 $\frac{N}{N+1}<s<\frac{N}{2}$，$\frac{2(N+1)}{N-1}<p<\frac{2N}{N-2s}$ 为两个实指数，系数 $Q$ 有界连续、非负且满足条件 \begin{equation} \mathop{\mathrm{lim~sup}}\limits_{|x|\longrightarrow\infty}Q(x) <\mathop{\mathrm{sup}}\limits_{x\in\mathbb{R}^{N}}Q(x). \end{equation} 对于足够大的 $k>0$，证明了方程 (\ref{main}) 实值解的存在性，并且在 $k\longrightarrow\infty$ 的极限下，证明了与对偶方程的基态相关联的解序列在重新标度后集中于函数 $Q$ 的全局最大值点。