临界非线性 Helmholtz 方程的对偶基态解

利用对偶变分方法，我们获得了临界非线性 Helmholtz 方程 $$- \Delta u - k^{2}u = Q(x)|u|^{2^{\ast} - 2}u, \quad u \in W^{2,2^{\ast}}(\mathbb{R}^{N})$$ 的非平凡实值解，其中 $N\geq 4$，且 $2^{\ast} := \frac{2N}{N-2}$。假设系数 $Q \in L^{\infty}(\mathbb{R}^{N})\setminus\{0\}$ 是非负的、渐近周期的，并在其某个最大值点满足平坦性条件。所获得的解被称为对偶基态，即源自对偶泛函临界点的解，且具有在所有非平凡临界点中能量最小的性质。此外，我们证明了当 $N=3$ 时不存在对偶基态。