Hilbert 空间中某些变分问题的基态及其在偏微分方程中的应用

我们证明了在 Hilbert 空间中存在一些变分问题的基态，遵循 Berestycki 和 Lions 的方法。接下来，我们考察了构建基态解 $u:\mathbb{R}^{d+k}\to\mathbb{R}^m$ 的问题，其对应于系统 $\Delta u(x)=\nabla W(u(x))$（其中 $W:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$），对应于一些非平凡稳定解 $e:\mathbb{R}^k\to\mathbb{R}^m$。我们提出的方法基于将问题归约到 $\mathcal H$ 空间中的基态问题，其中将 $e$ 视为 $\mathcal H$ 中定义的有效势函数的局部最小值。在一个应用中，考虑 $e:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^m$ 的异质偶联轨迹，我们获得 $u:\mathbb{R}^{d+1}\to\mathbb{R}^m$（$d\geq 2$），渐近收敛于 $e$，可视为 Alama-Bronsard-Gui 与 Schatzman 初始构建的异质偶联双层结构的同核类比。