临界情况下 Hartree 能量泛函的基态

我们考虑在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中寻找 Hartree 能量泛函在卷积势 $w$ 下的极小化问题，其中 $w \in L^\infty(\mathbb{R}^3)+L^{3/2,\infty}(\mathbb{R}^3)$，且 $L^\infty$ 部分在无穷远处消失。该类势包括形如 $-\frac{1}{|x|^\alpha}$（$0<\alpha\le2$）的势之和，以及 $w \in L^{3/2}(\mathbb{R}^3)$ 的情形。我们证明了对广泛范围的 $L^2$ 质量存在此类基态。我们还建立了基态的基本性质，即正性与正则性。最后，我们利用为稳态问题推导的估计来证明相关演化问题的全局适定性以及基态集合的轨道稳定性。