关于 Hartree 类型方程在 $\mathbb{R}^3$ 中带 delta势的基态存在性

考虑由下式形式描述的 $\mathbb{R}^3$ 中的 Hartree 类型方程\n$$i \partial_t \psi = - \Delta_x \psi + \alpha \delta_0 \psi - (I_\beta \ast |\psi|^p) |\psi|^{p - 2} \psi$$\n其中 $\alpha \in \mathbb{R}$；$0 < \beta < 3$，求解 $\psi : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R} \to \mathbb{C}$。通过 Poho\v{z}aev 身份，我们证明若 $p = (3 + \beta) / 3$ 且 $\alpha \geq 0$，则问题在任意质量 $\mu > 0$ 下无基态。我们还证明若\n$$\frac{3 + \beta}{3} < p < \min \left( \frac{5 + \beta}{3}, \frac{5 + 2 \beta}{4} \right),$$\n该区间包括物理上相关的情形 $p = \beta = 2$，则问题在任意质量 $\mu > 0$ 下 admit 一个基态。