带点相互作用的非致动 NLSE 的基态

设定如下：(i) $N = 2$，$\alpha \in \mathbb{R}$ 且 $p > 2$，或 (ii) $N = 3$，$\alpha < 0$ 且 $2 < p < 3$。我们证明存在一个可显式计算的 $\mu_0 = \mu_0 (N, \alpha, p) > 0$，使得当 $0 < \mu < \mu_0$ 时，以下规范化的半线性椭圆问题带有点相互作用才有基态解：\[ \begin{cases} - \Delta_\alpha u + \omega u + u |u|^{p - 2} = 0 &\text{在} ~ \mathbb{R}^N;\\ \|u\|\mathscr{L}^2^2 = \mu, \end{cases} \\其中 $- \Delta_\alpha$ 表示以原点为中心的点相互作用拉普拉斯算子，其反散射长度为 $- 2 (N - 1) \pi \alpha$，我们要求解 $\omega \in \mathbb{R}$，$u : \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$。我们补充说明，此类解在没有点相互作用的非致动 NLSE 框架下不存在。