带点相互作用的 NLSE 的变号多峰驻波

考虑 $\mathbb{R}^N$ 中带有如下点相互作用的半线性问题：$$- \Delta_\alpha u + \omega u = u |u|^{p - 2},$$ 其中 $N \in \{2, 3\}$；$\omega > 0$；$- \Delta_\alpha$ 表示具有逆 $s$ 波散射长度 $- (4 \pi \alpha)^{- 1}$ 的点相互作用哈密顿量，我们要求解 $u \colon \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$。通过 Lyapunov--Schmidt 约化，我们证明了在以下任一情形下该问题存在变号多峰解：(1) $N = 2$，$\alpha \in \mathbb{R}$，$p_* < p \leq 3$ 且 $\omega$ 足够大；或 (2) $N = 3$，$0 < \alpha < \infty$，$p_* < p < 3$ 且 $\omega$ 足够小，其中 $2.45 < p_* := \frac{9 + \sqrt{113}}{8} < 2.46$。