关于与具有多项式非线性的p-Laplace方程相关的Rayleigh商

设 $\Omega$ 为有界开集，$p,q,r>1$。本文的主要观察如下：由 $\mu$ 参数化的方程 $-\Delta_p u = \mu |u|^{q-2}u + |u|^{r-2}u$ 的 $W_0^{1,p}(\Omega)$-解与由 $\alpha$ 参数化的 $0$-齐次Rayleigh型商 $R_\alpha(u)=\|\nabla u\|_p^p/ (\|u\|_q^{\alpha p} \|u\|_r^{p-\alpha p})$ 的适当归一化临界点之间存在双射。我们研究了对于 $p,q,r$ 之间各种关系下的这种双射以及 $R_\alpha$ 的性质。特别地，对于广义凸-凹问题（$q<p<r$ 的情况），该双射允许给出对应于纤维能量泛函拐点的所有退化解的存在性和刻画：它们完全是 $R_\alpha$ 在 $\alpha = (r-p)/(r-q)$ 时的临界点。在次齐次情况 $q<r \leq p$ 下，并在对 $\Omega$ 的附加假设下，$R_\alpha$ 的基态水平是简单且孤立的，并且 $R_\alpha$ 的极小化子穷尽了相应方程的所有常号解集。在超齐次情况 $p < q<r$ 下，在 $R_\alpha$ 的基态水平附近不存在变号临界点。