一类具双重耦合特征的Hartree-Fock型系统的向量基态解

本文研究如下Hartree-Fock型系统：\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u+u+\lambda \phi _{u,v}u=\left\vert u\right\vert ^{p-2}u+\beta \left\vert v\right\vert ^{\frac{p}{2}}\left\vert u\right\vert ^{\frac{p}{2}% -2}u & \text{ in }\mathbb{R}^{3}, \\ -\Delta v+v+\lambda \phi _{u,v}v=\left\vert v\right\vert ^{p-2}v+\beta \left\vert u\right\vert ^{\frac{p}{2}}\left\vert v\right\vert ^{\frac{p}{2}% -2}v & \text{ in }\mathbb{R}^{3},% \end{array}% \right. \end{equation*}% 其中 $\phi _{u,v}(x)=\int_{\mathbb{R}^{3}}\frac{u^{2}(y)+v^{2}\left( y\right) }{|x-y|}dy,$ 参数 $\lambda,\beta >0$ 且 $2<p<4$。该系统被视为量子力学中两粒子库仑系统的近似，并考虑了Pauli原理。其特征性在于存在双重耦合项。当 $2<p<3$ 时，我们通过刻画耦合常数 $\lambda$ 与 $\beta$ 的内在关系，在径向空间 $H_{r}$ 中建立了包括向量解在内的非平凡径向解的存在性与多解性。当 $2<p<4$ 时，我们通过发展一种新的约束方法并结合若干新分析技术，在非径向空间 $H$ 中研究了向量解的存在性。特别地，当 $3\leq p<4$ 时，在 $H$ 中找到了向量基态解，此为创新之处，因先前任何结果均未讨论过。我们的研究可视为对d'Avenia等人 [J. Differential Equations 335 (2022) 580--614] 的完整补充。