具有质量次临界增长的 Hartree-Fock 系统规范化解的存在性

在本文中，我们研究 $H_{r}^{1}(\mathbb{R}^{3}) \times H_{r}^{1}(\mathbb{R}^{3})$ 中具有如下形式的 Hartree-Fock 类型系统的规范化解：\be\lab{ Hartree-Fock} \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u +\alpha \phi _{u,v} u=\lambda _{1} u+\left | u \right | ^{2q-2} u+\beta \left | v \right | ^{q} \left | u \right | ^{q-2} u , \\ -\Delta v +\alpha \phi _{u,v} v=\lambda _{2} v+\left | v\right | ^{2q-2} v+\beta \left | u \right | ^{q} \left | v \right | ^{q-2} v , \\ \int_{\mathbb{R}^{3}}\left | u \right | ^{2} {\rm d}x=a_{1} , \quad \int_{\mathbb{R}^{3}}\left | v \right | ^{2} {\rm d}x=a_{2} , \nonumber\\ \end{array} \right. 其中 $$\phi_{u, v}\left(x\right):=\int_{\mathbb{R}^{3}} \frac{u^{2}(y)+v^{2}(y)}{|x-y|} {\rm d}y \in D^{1,2}\left(\mathbb{R}^{3}\right).$$ 这里 $\alpha,\beta>0, a_1,a_2>0$ 且 $1<q<\frac{5}{3}$。通过寻找对应泛函的约束全局极小值点，我们证明了当 $1<q<\frac{4}{3}$ 时对于任意 $a_1,a_2>0$，以及当 $\frac{4}{3}\le q < \frac{3}{2}$ 时对于足够小的 $a_1,a_2>0$，上述系统规范化解的存在性。对于 $\frac{3}{2}\le q < \frac{5}{3}$，我们还考虑了规范化解的不存在性。此外，在演化问题局部适定性的假设下，我们得到了驻波的轨道稳定性。