关于半线性Helmholtz方程的孤立奇异解

本文旨在研究半线性Helmholtz方程的孤立奇异解 $$-\Delta u-u=Q|u|^{p-1}u \quad{\rm in}\ \ \mathbb{R}^N\setminus\{0\},\ \qquad\lim_{|x|\to0}u(x)=+\infty,$$ 其中 $N\geq 2$，$p>1$，势函数 $Q: \mathbb{R}^N\to (0,+\infty)$ 为满足无穷远处额外衰减条件的Hölder连续函数。我们给出了Serrin次临界情形下孤立奇点的分类，随后借助Schauder不动点定理，通过积分方程 $$v_k=\Phi\ast\big(Q|kw_\sigma+v_k|^{p-1}(kw_\sigma+v_k)\big)\quad{\rm in}\ \, \mathbb{R}^N,$$ 导出形如 $u_k=k\Phi+v_k$ 的孤立奇异解，其中 $\Phi$ 是算子 $-\Delta-1$ 的实值基本解，$w_\sigma$ 亦是实值解 $(-\Delta-1)w_\sigma=\delta_0$，其在无穷远处的渐近行为由 $|x|^{-\sigma}$ 控制，其中某 $\sigma\leq \frac{N-1}{2}$。