分数阶拉普拉斯算子及其他相关算子的亥姆霍兹解

我们证明，对于 $0<s<1$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中的分数阶亥姆霍兹方程 $(-\Delta)^s u= u$，其有界解在额外假设 $u$ 在 $\infty$ 处消失时，由经典亥姆霍兹方程 $(-\Delta)u= u$ 在 $\mathbb{R}^n$（$n \ge 2$）中的有界解给出。当 $n=1$ 时，我们证明有界分数阶亥姆霍兹解同样由经典解 $A\cos{x} + B\sin{x}$ 给出。我们证明该分数阶亥姆霍兹解的分类可推广至 $1<s \le 2$ 以及 $s\in \mathbb{N}$ 且 $u \in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ 的情形。最后，我们证明当 $\psi$ 为完全伯恩斯坦函数且对相关权函数 $a(t)$ 施加特定正则条件时，经典解是更一般方程 $\psi(-\Delta) u= \psi(1)u$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中的唯一有界解。