关于分数 Gelfand 方程在 $\mathbb{R}$ 中的存在性与唯一性

我们证明了分数 Gelfand 方程 (-\Delta)^s u = e^u \quad \mbox{在 \mathbb{R}} \quad \mbox{且} \quad \int_{\mathbb{R}} e^u dx < +\infty 对所有指数 $s \in (\frac{1}{2},1)$ 的解的存在性、对称性和唯一性。此外，我们证明 $u$ 具有有限 Morse 指数，其线性化算子是非退化的。我们的论证基于以函数 $v= \sqrt{e^u}$ 为变量的固定点方案，我们构建了一个涉及（局部）紧凑非线性图的 nonlocal shooting 方法。我们还研究了 $(-\Delta)^s u = K e^u$ 在 $\mathbb{R}$ 中的解的存在性、对称性和唯一性，其中 $K e^u \in L^1(\mathbb{R})$ 且 $K > 0$ 为一般正的、偶的且单调递减函数类。