随机介质中的亥姆霍兹方程：适定性和先验界

我们证明了亥姆霍兹方程 $\nabla\cdot(A\nabla u) + k^2 n u = -f$ 的适定性结果和先验界，该方程定义在 $\mathbb{R}^d$ 或星形Lipschitz障碍物外部，针对一类随机 $A$ 和 $n$、随机数据 $f$，并且对于所有 $k>0$。$A$ 和 $n$ 的特定类别以及障碍物的条件确保了问题几乎必然无俘获。这是随机亥姆霍兹方程在任意大 $k$ 以及 $A$ 和 $n$ 独立于 $k$ 变化时的首批适定性结果和先验界。这些结果是通过结合最近关于确定性 $A$ 和 $n$ 的亥姆霍兹方程的界以及本文中提出的用于证明线性椭圆随机偏微分方程变分形式的适定性和先验界的一般论证（即不特定于亥姆霍兹方程）而获得的。我们强调，这些一般结果既不依赖于Lax-Milgram定理，也不依赖于Fredholm理论，因为两者都不适用于亥姆霍兹方程的随机变分形式。