由不确定性量化驱动的亥姆霍兹预处理问题分析

本文分析如下问题：设 $\mathbf{A}_j$，$j=1,2,$ 为异质亥姆霍兹方程 $\nabla\cdot (A_j \nabla u_j) + k^2 n_j u_j= -f$ exterior Dirichlet 问题有限元离散化对应的伽辽金矩阵。为使 GMRES 应用于 $(\mathbf{A}_1)^{-1}\mathbf{A}_2$ 或 $\mathbf{A}_2(\mathbf{A}_1)^{-1}$ 在任意大 $k$ 下以与 $k$ 无关的迭代次数收敛，$\|A_1 -A_2\|_{L^q}$ 与 $\|{n_1} - {n_2}\|_{L^q}$ 必须多小（就 $k$ 依赖性而言）？（换言之，为使 $\mathbf{A}_1$ 成为 $\mathbf{A}_2$ 的良好左或右预条件子？）。我们证明回答此问题的结果，给出其尖锐性的理论证据，并提供支持估计的数值实验。我们处理此问题的动机源于计算具随机系数 $A$ 和 $n$ 的亥姆霍兹方程感兴趣量。此类计算可能需求解多个确定性亥姆霍兹问题，每个具不同 $A$ 和 $n$，而上述问题的答案决定了先前计算的某个伽辽金矩阵逆在多大程度上可用作其他伽辽金矩阵的预条件子。