关于具有解析系数的偏微分方程中的局部非零约束

我们考虑有界区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^{d}$ 上具有实解析系数的 Helmholtz 方程。取 $d+1$ 个给定的边界条件 $f^{i}$ 以及固定区间 $[a,b]$ 中的频率 $\omega$。我们考虑解 $u_{\omega}^{i}$ 上形如 $\zeta(u_{\omega}^{1},\ldots,u_{\omega}^{d+1},\nabla u_{\omega}^{1},\ldots,\nabla u_{\omega}^{d+1})\neq0$ 的约束，其中 $\zeta$ 为解析函数，该约束在 $\omega=0$ 时在 $\Omega$ 中成立。我们证明对任意 $\Omega^{\prime}\Subset\Omega$ 以及几乎任意 $d+1$ 个 $[a,b]$ 中的频率 $\omega_{k}$，存在 $d+1$ 个子区域 $\Omega_{k}$，使得 $\Omega^{\prime}\subset\cup_{k}\Omega_{k}$ 且在 $\Omega_{k}$ 中 $\zeta(u_{\omega_{k}}^{1},\ldots,u_{\omega_{k}}^{d+1},\nabla u_{\omega_{k}}^{1},\ldots,\nabla u_{\omega_{k}}^{d+1})\neq0$。该问题源于混合成像反问题。所用方法并非 Helmholtz 模型所特有，亦可应用于其他频率依赖问题。