第一 Heisenberg 群上格点计数问题误差项的最佳可能指数

我们使用解析数论的经典方法来解决第一 Heisenberg 群上的格点计数问题，其中度规函数取为 Cygan–Korányi Heisenberg 范数 $\mathcal{N}_{4,1}(z,w)=(|z|^{4}+w^{2})^{1/4}$。在此情形下，我们的主要定理建立了估计 $\mathcal{E}(x)=\Omega_{\pm}(x^{\frac{1}{2}})$，其中 $\mathcal{E}(x)=\mathcal{S}(x)-\frac{\pi^{2}}{2}x$ 是格点计数问题中产生的误差项，$\mathcal{S}(x)$ 由 $$\mathcal{S}(x)=\sum_{0\leq m^2+n^2<\, x}r_2(m)$$ 给出，而 $r_2(m)=|\{a,b\in\mathbb{Z}:\,a^{2}+b^{2}=m\}|$ 是熟悉的平方和函数。作为一个推论，我们推断出 Garg、Nevo 和 Taylor 得到的上界 $\left|\mathcal{E}(x)\right|\ll x^{\frac{1}{2}}\log{x}$ 中的指数 $\frac{1}{2}$ 无法改进，因此是最佳可能的，从而解决了当前情形下的格点计数问题。