模型量子系统的能级统计：格点问题中的普适性与标度性

我们研究了“随机”环形区域 $\Pi(R,w)=\,(R+w)A\,\setminus RA$ 中格点数 $N(R,S)$ 的统计性质，其中 $n\in \Z^2$，$R,w >0$。这里 $A$ 是一个具有光滑边界的固定凸集，$w$ 的选择使得 $\Pi (R,w)$ 的面积为 $S$。随机性来源于 $R$ 在某个区间 $[c_1T,c_2T]$（$c_2>c_1>0$）内被取为随机变量（具有光滑密度）。我们发现，在 $T\to\infty$ 的极限下，$\De N=N(R;S)-S$ 的方差和分布强烈依赖于 $S$ 随 $T$ 的增长方式。存在一个饱和区域 $S/T\to\infty$（当 $T\to\infty$ 时），其中来自 $\Pi$ 两个边界的 $\Delta N$ 的涨落是独立的。然后存在一个标度区域 $S/T\to z$（$0<z<\infty$），在该区域中分布以几乎周期的方式依赖于 $z$，并在 $z\to\ 0$ 时趋于高斯分布。在此极限下，对于“一般”的 $A$，方差趋近于 $z$，但对于“退化”情形，方差可能更大。前一种行为正是人们从有限面积环状区域分布的泊松极限所预期的。