长区间上格点误差项平均的一个Hardy型结果

设$D$为$\mathbb{R}^k$中具有光滑边界（可能存在零曲率区域）的适当可容许紧子集。令\mbox{$R(T,\theta,x)= N(T,\theta,x) - T^{k}\mathrm{vol}(D)$,}，其中$N(T,\theta,x)$为包含在$T\theta(D)$的$x$-平移中的整格点个数，$T >0$为膨胀参数，$\theta \in SO(k)$。则$R(T,\theta,x)$可视为空间$E_{*}^{+}(k)$上以$T$为参数的函数，其中$E_{*}^{+}(k)$是直欧几里得群模整平移子群的商，且$E_{*}^{+}(k)$具有由$SO(k)$与$k$-环面上的归一化测度之积给出的归一化不变测度。我们导出了一个对几乎所有$(\theta,x) \in E_{*}^{+}(k)$成立的积分估计，其在二维的一个推论是：对几乎所有$(\theta,x) \in E_{*}^{+}(2)$，Hardy圆估计\mbox{$(1/T)\int_{1}^{T} |R(t,\theta,x)\,dt| \ll T^{\frac{1}{4} +\epsilon}\;$}的对应形式以改进估计成立。最后我们叙述了双曲版本，借助Hill与Parnovski先前的工作\cite{hill-parnovski}，对紧致与非紧致有限体积情形，我们给出了所有维度上的对应结果。