通过柯西积分计算解析函数高阶导数的精度与稳定性
数值分析
2011-04-04 v4 复变函数
摘要
解析函数的高阶导数可表示为沿圆形围道的柯西积分，该积分可通过梯形求和等方法非常有效地近似。尽管在解析上，直到收敛半径的每个半径 r 都是等价的，但数值稳定性却强烈依赖于 r。我们对这一效应进行了全面研究；特别地，我们证明了存在一个唯一半径，能够最大限度地减少由舍入误差引起的精度损失。对于大部分函数类（尽管并非全部），该半径实际上能提供近乎完全的精度；这一显著事实可通过 Hardy 空间理论、整函数的 Wiman-Valiron 和 Levin-Pfluger 理论以及渐近分析的鞍点法加以解释。文中详细讨论了大量实例和非平凡应用。
引用
@article{arxiv.0910.1841,
title = {Accuracy and Stability of Computing High-Order Derivatives of Analytic Functions by Cauchy Integrals},
author = {Folkmar Bornemann},
journal= {arXiv preprint arXiv:0910.1841},
year = {2011}
}
备注
Version 4 has some references and a discussion of other quadrature rules added; 57 pages, 7 figures, 6 tables; to appear in Found. Comput. Math