函数域中超越厄尔多斯差异问题

我们刻画乘法函数 $f:\mathbb{F}_q[t]\to S^1$ 部分和的极限行为。与数域情形相反，该刻画关键取决于差异是用长区间、短区间还是字典序区间定义。关于短区间差异概念，我们证明：对 $q$ 为奇数，完全乘法 $f:\mathbb{F}_q[t]\to\{-1,+1\}$ 具有有界短区间和，当且仅当 $f$ 与某个素数幂模的“修正”狄利克雷特征一致。这确认了 $\mathbb{Z}$ 上关于此类修正特征在部分和增长率方面极值的函数域版本猜想。关于字典序差异，我们证明若用 $\mathbb{F}_{q}[t]$ 的自然字典序定义，完全乘法序列的差异总是无穷的。这回答了 Liu 与 Wooley 的一个问题。关于长求和差异，Polymath 5 合作观察到厄尔多斯差异问题在 $\mathbb{F}_q[t]$ 上有无穷多完全乘法反例。然而，若限制于修正狄利克雷特征类，我们仍能分类这些反例。在此情形下，我们确定了差异的精确增长率，而整数上类似问题仍未知。