区间不平衡问题中的有限胜利：对 de Bruijn-Erdős 定理的改进

我们研究区间不平衡问题的有限形式。 从单位区间开始，反复将现有区间分割为两个，直至产生 n 个区间。 这种过程的不平衡度为在所有中间阶段中，最长区间与最短区间之比的最大值。 1949 年，de Bruijn 和 Erdős 提出定理，说明该比值必然随着 $n\to\infty$ 趋于 2，且给出实现该界限的尖锐构造。 对于固定的 $n$，他们的构造给出上界 $\text{disc}(n)\leq 2-\frac{3}{2n}+O(1/n^2)$。 本文改进了该界限的一阶项。 具体而言，我们构造一种称为 lex-merge 的策略，使 $\text{disc}(n)\leq 2-\frac{4\ln 2}{n}+O(1/n^2)$。 我们还证明下界 $\text{disc}(n)\geq 2-\frac{6\ln 2}{n}-O(1/n^2)$，表明该改进在 de Bruijn-Erdős 构造中的一阶项具有正确的数量级。 我们推测，lex-merge 策略对于每一个 $n$ 都是最优的。