关于变差距离的张量化

如果试图用边缘 TV 序列 $\delta=(||P_1-Q_1||,||P_2-Q_2||,\ldots,||P_n-Q_n||)$ 来估计两个乘积测度之间的总变差 $||P^\otimes_{1:n}-Q^\otimes_{1:n}||$，那么平凡的上下界由 $||\delta||_\infty \le ||P^\otimes_{1:n}-Q^\otimes_{1:n}||\le||\delta||_1$ 给出。我们将下界改进为 $||\delta||_2\lesssim||P^\otimes_{1:n}-Q^\otimes_{1:n}||$，从而将上下界之间的差距从 $\sim n$ 缩小到 $\sim\sqrt n$。此外，我们证明了任何用 $\delta$ 表示的关于 $||P^\otimes_{1:n}-Q^\otimes_{1:n}||$ 的估计，在最坏情况下上下界之间必然表现出 $\sim\sqrt n$ 的差距，这从某种意义上确立了我们的估计是最优的。最后，我们找到了一类自然的分布，对于这类分布，$||\delta||_2$ 以绝对乘性常数近似 TV 距离。