带不完美建议的乘积分布学习

给定来自未知分布 $P$ 的独立同分布样本，分布学习的目标是恢复接近 $P$ 的分布的参数。当 $P$ 属于布尔超立方 $\{0,1\}^d$ 上的乘积分布时，已知需要 $\Omega(d/\varepsilon^2)$ 个样本才能在总变差距离 $\varepsilon$ 内学习 $P$。我们重新审视这个问题，当学习者还被给出一个乘积分布 $Q$ 的参数作为建议时。我们证明，如果 $\|\mathbf{p} - \mathbf{q}\|_1 < \varepsilon d^{0.5 - \Omega(\eta)}$，则存在一种高效算法能够在总变差距离 $\varepsilon$ 内学习 $P$，其样本复杂度为 $\tilde{O}(d^{1-\eta}/\varepsilon^2)$。这里 $\mathbf{p}$ 和 $\mathbf{q}$ 分别是 $P$ 和 $Q$ 的均值向量，且算法 priori 不知道 $\|\mathbf{p} - \mathbf{q}\|_1$ 的上界。