高维环境下中心化椭圆分布间 TVD 与 KLD 的上下界

在本文中，我们推导了由 $$D_{\mathrm{TV}} ( \mu, \nu ) = \sup_{B \in \mathcal{B} (\mathbb{R}^n)} \left| \mu(B) - \nu(B) \right| \quad \text{and} \quad D_{\mathrm{KL}} ( \mu \, \| \, \nu ) = \int_{\mathbb{R}^n} \ln \left( \frac{d\mu(x)}{d\nu(x)} \right) \, \mu(dx)$$ 定义的两个概率测度 $\mu$ 和 $\nu$ 之间的全变差距离（TVD）和 Kullback-Leibler 散度（KLD，亦称为相对熵）在维度 $n$ 较高时的一些上下界与不等式。我们首先给出了存在密度的中心化椭圆分布的一些基本界，并通过在高维环境下估计多元 Student 分布与多元正态分布之间的 TVD 和 KLD 来展示这些界如何使用。接下来，我们展示了相同方法在应用于具有独立分量的多元 Gamma 分布时如何简化（在后一种情况下，我们仅研究 TVD，因为 KLD 可以显式计算，见 [1]）。我们的方法受 Barabesi 和 Pratelli [2] 近期贡献的启发。