环面平移的遍历和偏差 II：方盒

我们研究了环面 ${\mathbb T}^d$ 上的 Kronecker 序列 $\{n\alpha\}_{n\leq N}$，其中 $\alpha$ 在 ${\mathbb T}^d$ 上均匀分布。我们表明，该序列访问随机方盒次数的偏差，经 $\ln^d N$ 归一化后，当 $N\to\infty$ 时收敛于 Cauchy 分布。证明的关键要素是关于 $d+1$ 维格空间上 Cartan 作用的 Poisson 极限定理。