环面自同态交换半群的中心极限定理

设 $\Cal S$ 为概率空间 $(\Omega, {\Cal A}, \mu)$ 自同态的阿贝尔有限生成半群，$(T_1, ..., T_d)$ 为 ${\Cal S}$ 中的一组生成元。给定 $\N^d$ 中递增的区域序列 $(D_n)$，一个问题在于归一化序列 $|D_n|^{-\frac12} \sum_{{\k} \, \in D_n} \, f \circ T^{\,{\k}}$ 的分布收敛性，其中 $f \in L^2_0(\mu)$，$T^{\k}= T_1^{k_1} ... T_d^{k_d}$，${\k}= (k_1, ..., k_d) \in {\N}^d$。在对 $\Cal S$ 的作用具有 Lebesgue 谱进行初步谱研究后，我们考虑了由 $\T^\rho$（$\rho \geq 1$）上交换环面自同构或自同态给出的 $\N^d$-或 $\Z^d$-作用。对于自同构的完全遍历作用，当 $f$ 在环面上正则时，我们证明了上述归一化序列或其他求和方法（如重心）的中心极限定理（CLT），以及方差非退化的判据。对于某些自同态半群也证明了中心极限定理。文中回顾了关于此类自同构作用存在性与构造的经典结果。