新的 Kronecker-Weyl 型等分布结果及其在丢番图逼近中的应用

Veech 在 50 多年前的一个有趣结果是 Kronecker--Weyl 等分布定理关于无理数旋转序列 $\{q\alpha\}$（$q=0,1,2,3,\ldots$）的奇偶性（或模 $2$）版本。若 $\alpha$ 为坏迫近数且 $b\in(0,1)$ 满足对任意 $m\in\mathbb{Z}$ 均有 $b\ne\{m\alpha\}$，则当 $N\to\infty$ 时，集合 $\{1\le q\le N:\{q\alpha\}\in[0,b)\}$ 的基数奇偶性均匀分布。我们首先回答了 Veech 的一个问题，并建立了其结果的模 $n$ 类比的更强形式（定理 3.1）。此外，对于无理数 $\alpha$ 以及某个 $m\in\mathbb{N}$ 使得 $b=\{m\alpha\}$ 的情形，我们给出导致均匀分布的那些情形的一个简单而精确的刻画（定理 2.1）。我们还获得了某些极为显著的均匀性违背的时间定量描述——这部分尤其具有数论性质，并涉及正整数的 Ostrowski 表示与实数的 $\alpha$-展开（定理 3.4）。Veech 离散 $2$-圆问题也可被可视化为一个关于测地流的问题：该曲面由包含两个并排正方形的曲面通过在其垂直边上加入对称屏障与闸门并适当修改垂直边识别方式而得到。我们将此情形推广到一个远为广泛的情形，即关于通过以类似但未必对称的方式修改有限方砖平移曲面而得到的曲面上的单向测地流（定理 3.2）。