关于 Weyl 等分布定理的一个注记

H. Weyl 在 \cite{Weyl} 中证明了，当多项式至少一个非常数系数为无理数时，其整数取值模 1 是等分布的。我们利用 Weyl 的结果证明这一事实的高维类比。即，我们证明当多项式至少一个非常数系数为无理数时，其在格点上的取值模 1 是等分布的。该结果加强了 Arhipov-Karacuba-\v{C}ubarikov 在 \cite{PolWeyl} 中的主要结果。我们将此类比作为某个定理的推论证明，该定理保证了对所有满足其导数某些限制的函数，其格点取值模 1 的等分布性。我们证明的另一个推论是，对于 $p\in(1,\infty)$，整数向量的 $\ell^p$ 范数模 1 是等分布的。