Kronecker 序列沿闭 horocycle 的等分布

众所周知:(i) 对每个无理数 $\alpha$,Kronecker 序列 $m\alpha$ ($m=1,...,M$) 在极限 $M\to\infty$ 下模 1 等分布;(ii) 长度为 $\ell$ 的闭 horocycle 在有限面积双曲曲面 $M$ 的单位切丛 $T_1 M$ 中,当 $\ell\to\infty$ 时变得等分布。本文同时研究这两个等分布问题:我们证明对任意常数 $\nu > 0$,当 $\ell = M^{\nu} \to \infty$ 时,沿一条长闭 horocycle 嵌入 $T_1 M$ 的 Kronecker 序列对几乎所有 $\alpha$ 在 $T_1 M$ 中等分布。事实上,该等分布结果在 $\alpha$ 的显式丢番图条件下成立(例如 $\alpha=\sqrt 2$),只要 $\nu<1$,或在 $\nu<2$ 且对 certain 自守形式的 Fourier 系数有附加假设时成立。最后,我们表明当 $\nu=2$ 时,我们的等分布定理蕴含了 Rudnick 和 Sarnak 最近关于序列 $n^2 \alpha$ 模 1 的配对关联密度一致性的结果。