关于 $n^\alpha$ mod 1 的相关函数

模一一致分布理论中一个著名的结果（可追溯到Fejér与Csillag）指出，序列 $(n^\alpha)_{n\ge1}$ 的小数部分 $\{n^\alpha\}$ 在 $\alpha>0$ 非整数时于单位区间内一致分布。为将此知识 sharpen 至局部统计，序列 $(\{n^\alpha\})_{n\geq1}$ 的 $k$ 级相关函数具有根本重要性。我们证明对每个 $k\ge2$，当几乎所有 $\alpha>4k^2-4k-1$ 时，$k$ 级相关函数 $R_k$ 是泊松型的。