尖点中闭 horocycle 的收缩目标等分布

考虑有限面积非紧双曲曲面单位切丛的一个尖点的收缩邻域,并令该邻域以$T^{-1}$的速率随着$T \rightarrow \infty$向尖点内收缩。我们证明,当以速率$T^{-1}$作归一化时,一条长度$\ell$趋于无穷的闭horocycle、甚至该horocycle的一段,在$T/\ell \rightarrow 0$且对任意$\delta>0$该段长度始终大于$\max\left\{T^{-1/6},\left(T/\ell\right)^{1/2}\right\}\left(T/\ell\right)^{-\delta}$的条件下,会在该收缩邻域上变得等分布。对于$T$与$\ell$增长速度的较小范围,我们也给出了一个有效结果。最后,一个涉及欧拉函数的数论恒等式由我们的方法得出。