模形式零点与质量的小尺度分布

我们研究 $SL_2(\mathbb Z) \backslash \mathbb H$ 上全纯 Hecke 尖形式在小尺度下的零点与质量行为。特别地，我们考察了当 $k \rightarrow \infty$ 时半径收缩得足够缓慢的双曲球内零点的分布。我们证明，只要半径以至多 $1/\log k$ 的小幂次的速率收缩，零点在 $k \rightarrow \infty$ 时便在此类球内等分布。这依赖于我们对 Rudnick 关于零点等分布定理的一个新的、有效的证明，以及我们在本文中获得的全纯形式的量子唯一遍历性的有效版本。我们还考察了 $SL_2(\mathbb Z) \backslash \mathbb H$ 的尖点附近零点的分布。Ghosh 与 Sarnak 猜想此处几乎所有零点都位于两条竖直测地线上。我们证明，对几乎所有形式，位于尖点高处的一正比例的零点确实落在这两条测地线上。对所有形式，我们假定广义 Lindelöf 假设，并建立了位于这些测地线上的零点个数的下界，该下界显著强于先前无条件的结果。