半整量Hecke初等形式的实零点

我们考察半整量Hecke初等形式在 $\Gamma_0(4)\backslash\mathbb H$ 上的零点在无穷处附近的分布情况。以经典全整量Hecke初等形式的Ghosh-Sarnak猜想为类比，预期随着权重趋于无穷大，距离该锥 sufficiently close 的大多数零点都位于两个垂直测地线 $\Re(s)=-1/2$ 和 $\Re(s)=0$ 上。我们证明了对于超过 $\gg_\varepsilon K^2/(\log K)^{3/2+\varepsilon}$ 的半整量Hecke初等形式（权重受大常数 $K$ 限制，位于Kohnen正交子空间中），此类“实”零点的数量几乎以预期的速率增长。我们也获得了一个较弱的下界，适用于形式的正比例集合。一个关键要素是对模块 $L$ 函数的二次扭转的平均化的一阶和二阶矩的渐近评估。