Grauert 管中节点集的对数尺度等分布

设 $M_{\tau_0}$ 为紧致、负曲率、实解析黎曼流形 $M$（无边界）的 Grauert 管（某固定半径 $\tau_0$）。设 $\phi_\lambda$ 为 $M$ 上特征值 $-\lambda^2$ 的拉普拉斯特征函数，设 $\phi_\lambda^\mathbb{C}$ 为其到 $M_{\tau_0}$ 的全纯延拓。在本文中，我们证明在 $M_{\tau_0} \setminus M$ 上，存在维数常数 $\alpha > 0$ 以及谱的一个满密度子列 $\{\lambda_{j_k}\}_{k=1}^{\infty}$，使得复化特征函数 $\phi_{\lambda_{j_k}}^\mathbb{C}$ 的质量在长度尺度 $(\log \lambda_{j_k})^{-\alpha}$ 上渐近等分布。此外，$\phi_{\lambda_{j_k}}^\mathbb{C}$ 的复零点在此对数长度尺度上也变得等分布。