与柯西和莱维的不期而遇

柯西分布通常被视为数学奇趣、大数定律的例外，甚至在某些入门课程中被称为“邪恶”分布。因此，当 Drton 与 Xiao (2016) 证明了 $m=2$ 时的如下结果并对 $m\ge 3$ 提出猜想时，我们感到惊讶。设 $X= (X_1,..., X_m)$ 与 $Y = (Y_1, ...,Y_m)$ 为独立同分布的 $N(0,\Sigma)$，其中 $\Sigma=\{\sigma_{ij}\}\ge 0$ 是一个 $m\times m$ 且任意的协方差矩阵，对所有 $1\leq j\leq m$ 有 $\sigma_{jj}>0$。则 $$Z = \sum_{j=1}^m w_j \frac{X_j}{Y_j} \ \sim \mathrm{Cauchy}(0,1),$$ 只要 $w=(w_1,..., w_m)$ 独立于 $(X, Y)$，$w_j\ge 0, j=1,..., m$，且 $\sum_{j=1}^m w_j=1$。在本注记中，我们通过将 $Z$ 与 Willams (1969) 给出的 Cauchy(0,1) 的几何刻画相联系，对任意 $m \geq 2$ 给出了该猜想的一个初等证明。这一一般结果对许多应用（如因子模型与列联表）中 Wald 检验的大样本性质至关重要。它还导出了其他意外结果，例如 $$\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m \frac{w_iw_j\sigma_{ij}}{X_iX_j} \sim {\text{L\'{e}vy}}(0, 1).$$ 这推广了“超柯西现象”，即 $m$ 个独立同分布标准莱维变量（亦即具有一个自由度的逆卡方变量）的平均值与单个标准莱维变量乘以 $m$ 具有相同的分布（这通过取 $w_j=1/m$ 且 $\Sigma$ 为单位矩阵得到）。