柯西、正态与相关性对比重尾

Pillai 与 Meng (2016) 的一个令人惊讶的结果表明，对于两个独立同分布的零均值正态随机向量 $(X_1,\ldots, X_n)$ 与 $(Y_1,\ldots, Y_n)$，$n>1$，任意权重 $0\leq w_j\leq 1$，$j=1,\ldots, n$，$\sum_{j=1}^n w_j=1$，变换 $\sum_{j=1}^n w_j X_j/Y_j$ 具有柯西分布，而与正态向量内的任何相关性无关。相关性似乎在比重尾的竞争中落败。为阐明这一现象的广泛程度，我们分析了两个独立同分布零均值正态随机向量的另外两种变换。这些变换在精神上类似于 Pillai 与 Meng (2016) 所考虑的变换。一种变换涉及绝对值：$\sum_{j=1}^n w_j X_j/|Y_j|$。第二种涉及随机停止的布朗运动：$\sum_{j=1}^n w_j X_j\bigl(Y_j^{-2}\bigr)$，其中 $\bigl\{\bigl( X_1(t),\ldots, X_n(t)\bigr), \, t\geq 0\bigr\},\ n>1,$ 是具有正方差的布朗运动；$(Y_1,\ldots, Y_n)$ 是与 $( X_1(1),\ldots, X_n(1))$ 同分布且与之独立的零均值正态随机向量；$X(Y^{-2})$ 是在随机时间 $t=Y^{-2}$ 处求值的布朗运动 $X(t)$ 的值。若正态分量的协方差矩阵为对角阵，或协方差矩阵所隐含的所有相关性均等于 1，则所有三种变换都产生柯西分布。然而，尽管 Pillai 与 Meng (2016) 考虑的变换无论正态协方差矩阵如何都产生柯西分布，我们此处考虑的变换并非总产生柯西分布。联合正态随机变量之间的相关性并非总被边缘尾部的重性所压倒。正态律与柯西律之间联系的奥秘仍有待理解。