高斯矩阵值过程经验谱分布的收敛性

对于给定的归一化高斯对称矩阵值过程 $Y^{(n)}$，我们考虑其特征值过程 $\{(\lambda_{1}^{(n)}(t),\dots, \lambda_{n}^{(n)}(t)); t\ge 0\}$ 以及相应的经验谱测度过程 $\mu^{(n)}=(\mu_{t}^{(n)}; t\geq0)$。在关于 $Y^{(n)}$ 的协方差函数的一些温和条件下，我们证明过程 $\mu^{(n)}$ 在紧集上一致收敛的拓扑下依概率收敛到确定性极限 $\mu$。我们表明过程 $\mu$ 由其柯西变换刻画，该变换是 Burgers 方程解的重新标度。我们的结果推广了 Rogers 和 Shi 关于自由布朗运动以及 Pardo 等人关于非交换分数布朗运动当 $H>1/2$ 时的结果，后者的论证强烈依赖于特征值的非碰撞性。我们的方法不需要后一性质，并特别解释了非交换分数布朗运动当 $H< 1/2$ 时的剩余情形，据我们所知，该情形此前未知。