中心极限定理中传输距离的估计

设 $X_1,\ldots,X_n$ 为 $d$ 维独立随机向量且受到概率为 1 的上界限制。为简化起见，我们假设它们具有零均值：\begin{equation} \mathbf{P}\{\|X_{j}\|\le\tau\}=1，\quad\mathbf{E}\,X_{j}=0，\quad j=1,\ldots, n.\nonumber \end{equation} 我们研究总和 $S=X_{1}+\cdots+X_{n}$ 的分布行为作为上界值 $\tau$ 的函数。从一维中心极限定理中非均匀 Bikelis 估计可得：$$W_1(F,\Phi_{\sigma})\le c\tau。$$ 其中 $W_1$ 为庞加莱--鲍姆--韦伯斯塔克距离，$F$ 为总和 $S$ 的分布，$\Phi_{\sigma}$ 为对应的正态分布。论文的主要结果显著更强且更精确。我们声称：$$\rho(F,\Phi_{\sigma}) =\inf\int\exp(|x-y|/c\tau)\,d\pi(x,y)\le c，$$ 其中取值遍及所有边缘分布分别为 $F$ 和 $\Phi_{\sigma}$ 的二元概率分布 $\pi$。该结果也推广至来自作者 1986 年论文中引入的类 $\mathcal{A}_{1}(\tau )$ 中累积分布函数增长足够缓慢的分布。讨论将该结果推广到多变量情形的可能性。