关于质量输运的 Sobolev 正则性与输运不等式

我们研究概率测度 $\mu=e^{-V} \ dx$ 和 $\nu=e^{-W} \ dx$ 在 $\R^d$ 上的最优输运 $T = \nabla \Phi$ 的 Sobolev 先验估计。假设势函数 $W$ 一致凸，我们证明 $\int \| D^2 \Phi\|^2_{HS} \ d\mu$（其中 $\|\cdot\|_{HS}$ 是 Hilbert-Schmidt 范数）受 $\mu$ 的 Fisher 信息控制。此外，我们证明了 $\|D^2 \Phi\|$ 的 $L^p(\mu)$ 范数的类似估计，并得到了著名的 Caffarelli 收缩定理的一些 $L^p$ 推广。我们将我们的结果与 Talagrand 输运不等式建立了联系。我们还证明了关于高斯测度的相对 Fisher 信息的相应无维版本。