Wiener 空间中 Monge-Ampère 方程的 Sobolev 正则性

给定直线可数积 $\mathbb{R}^{\infty}$ 上的标准高斯测度 $\gamma$ 以及一个关于 $\gamma$ 绝对连续的概率测度 $g \cdot \gamma$，我们考虑将 $g \cdot \gamma$ 最优输运到 $\gamma$ 的映射 $T(x) = x + \nabla \varphi(x)$。假设函数 $|\nabla g|^2/g$ 是 $\gamma$-可积的。我们证明函数 $\varphi$ 在某种 Sobolev 意义下是正则的，并满足经典的变量替换公式 $g = {\det}_2(I + D^2 \varphi) \exp \bigl(\mathcal{L} \varphi - 1/2 |\nabla \varphi|^2 \bigr)$。我们还建立了 $\varphi$ 存在三阶导数的充分条件。