Poincaré不等式与二次传输-方差不等式

已知Poincaré不等式等价于二次传输-方差不等式（即 $W_2^2(f\mu,\mu) \leqslant C_V \mathrm{Var}_\mu(f)$），参见Jourdain \cite{Jourdain}以及最近的Ledoux \cite{Ledoux18}。我们给出这一事实的两种另证。特别地，我们取得了比以往更小的 $C_V$，其等于Poincaré常数的两倍。应用同一论证可得Poincaré不等式的更多刻画。我们的方法还得到一个副产品：在Bakry-\'Emery曲率具有下界的前提下（此处控制常数可能依赖于曲率界），对数Sobolev不等式与热流在Wasserstein空间中的严格收缩等价。接下来，我们给出 $W_2^2(f\mu,\mu)$ 与其中心化 $W_2^2(f_c\mu,\mu)$ 之间的比较不等式，其中 $f_c = \frac{|\sqrt{f} - \mu(\sqrt{f})|^2}{\mathrm{Var}_\mu (\sqrt{f})}$，这可视为Rothaus引理关于相对熵的某种特殊对应。由此得到 $W_2^2(f\mu,\mu)$ 的某些新界，其关联于 $\sqrt{f}$ 而非 $f$ 的方差。作为副产品，我们得到了另一证明，从Lyapunov条件导出二次传输-信息不等式，避免了Bobkov-G\"otze对Talagrand不等式的刻画。