从超 Poincaré 不等式到加权 Log-Sobolev 不等式与熵 - 成本不等式

我们从一类超 Poincaré 不等式导出了加权 log-Sobolev 不等式。作为应用，获得了具有更大距离的 Talagrand 不等式。特别地，在完备连通黎曼流形上，我们证明了带有 $\dd\in (1,2)$ 的 $\log^\dd$-Sobolev 不等式蕴含了 $L^{2/(2-\dd)}$-运输成本不等式 $$W^\rr_{2/(2-\dd)}(f\mu,\mu)^{2/(2-\dd)}\le C\mu(f\log f), \mu(f)=1, f\ge 0$$ 对于某个常数 $C>0$ 成立，且若相应生成元的曲率有下界，则二者等价。我们还为 $\R^d$ 上的一大类概率测度导出了加权 log-Sobolev 不等式和熵 - 成本不等式。