尖锐加权对数 Sobolev 不等式：等号情形的刻画及其应用

利用最优质量传输理论，我们给出了涉及开凸锥 $E\subseteq \mathbb R^n$ 上对数凹齐次权函数的尖锐 $L^p$-对数 Sobolev 不等式 $(p\geq 1)$ 的一个直接证明。该证明的优点在于它允许刻画在 $L^p$-对数 Sobolev 不等式中实现等号情形的极值函数。等号情形的刻画对于 $p\geq n$ 而言是新的，即便在无权情形且 $E=\mathbb R^n$ 下也是如此。作为一个应用，我们给出了与 Hamilton-Jacobi 方程相关的 Hopf-Lax 半群的尖锐加权超压缩性估计，并同样刻画了等号情形。