论经典序列与勒贝格测度之间的Wasserstein距离

我们讨论测量$\mathbb{T}^d$中$N$个点集分布正则性的经典问题。最近的一个研究方向是研究将放置在这些点上的狄拉克测度移动到均匀分布所需的代价（$=$质量$\times$距离）。我们证明，在$d \geq 3$维中，Kronecker序列满足最优传输距离。这表明，对于可微函数$f: \mathbb{T}^d \rightarrow \mathbb{R}$和坏逼近向量$\alpha \in \mathbb{R}^d$，我们有$$\ | \int_{\mathbb{T}^d} f(x) dx - \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N} f(k \alpha) \ | \leq c_{\alpha} \frac{ \| \nabla f\|^{(d-1)/d}_{L^{\infty}}\| \nabla f\|^{1/d}_{L^{2}} }{N^{1/d}}.$$我们注意到，该结果对序列而非集合一致成立。同时，它改进了利普希茨函数的经典积分误差$\| \nabla f\|_{L^{\infty}} N^{-1/d}$。我们对于规则网格的数值积分也得到了类似的改进。主要工具是一个涉及测度傅里叶系数的估计；这使得现有估计可以被方便地“回收利用”。我们提出了几个开放问题。