正则化 Wasserstein 距离的层次化低秩近似

Sinkhorn 散度是两种概率测度间的不相似度度量。它通过对 Kantorovich 最优传输问题加入熵正则项得到，因此可视为熵正则化的 Wasserstein 距离。给定 $n$ 单形中两个离散概率向量，且支撑于 ${\mathbb R}^d$ 中两个有界空间上，我们提出一种在代价矩阵可分解为 $d$ 项渐近光滑 Kronecker 积因子之和时快速计算 Sinkhorn 散度的方法。该方法将 Sinkhorn 矩阵缩放迭代与缩放矩阵的低秩层次表示相结合，达到近线性复杂度 ${\mathcal O}(n \log^3 n)$。这提供了一种快速且易实现的 Sinkhorn 散度计算算法，使其可应用于大规模优化问题，而经典 Wasserstein 度量的计算在此类问题中不可行。我们给出一个与信号处理相关的数值例子，以展示二次 Sinkhorn 散度相较二次 Wasserstein 距离的可应用性，并验证所提方法的精度与效率。