两个线性递推之比的整数值分布

设 $F$ 和 $G$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性递推，且 $\mathfrak{R}$ 是 $\mathbb{K}$ 的有限生成子环。此外，令 $\mathcal{N}$ 为满足 $G(n) \neq 0$ 且 $F(n) / G(n) \in \mathfrak{R}$ 的正整数 $n$ 的集合。在温和假设下，Corvaja 与 Zannier 证明了 $\mathcal{N}$ 的渐近密度为 0。我们证明了对所有 $x \geq 3$，有 $\#(\mathcal{N} \cap [1, x]) \ll x \cdot (\log\log x / \log x)^h$，其中 $h$ 是可以根据 $F$ 和 $G$ 计算的正整数。在 Hardy-Littlewood $k$-tuple 猜想下，除 $\log \log x$ 项外，我们的结果是最优的。