一种针对对数凹性的序贯检验

在观测到分布于 $\mathbb{R}^d$ 上、具有分布 $P$ 的i.i.d.数据序列时，我们提出如何检验原假设“$P$ 具有对数凹密度”的问题。本文证明了一个有趣的负面与正面结果：检验（上）鞅的不存在性，以及通用推断的一致性。具体而言，对数凹分布集合 $\mathcal{L}$ 是一个非参数类，它包含了具有任意均值和协方差的所有可能高斯分布集合 $\mathcal G$。在进一步发展近期提出的叉凸几何概念后，我们首先证明对于 $\mathcal G$（一个在每个 $\mathcal G$ 中分布下同时为非负上鞅的过程）不存在非平凡的检验鞅或检验上鞅，从而对其超集 $\mathcal{L}$ 亦如此。由于这一负面结果，我们将注意力转向构造一个e-过程——一个在 $\mathcal{L}$ 中任意分布下、任意停止时刻期望至多为一的过程——它通过简单地在 $1/\alpha$ 处设阈值得出一个水平-$\alpha$ 检验。我们采用通用推断方法，该方法通过将非预期似然与备择之比除以原假设下的最大似然，避免了难处理的似然渐近。尽管其保守，我们证明所得检验是一致的（功效为一），并推导了其对Hellinger备择的功效。据我们所知，针对 $\mathcal{L}$ 尚不存在其他e-过程或序贯检验。