关于同胚于球的自仿射瓦片

设 $M$ 是一个 $3\times 3$ 整数矩阵，其扩张性是指其每个特征值的模均大于 $1$，并设 $\mathcal{D} \subset \mathbb{Z}^3$ 是一个包含 $|\det M|$ 个元素的数字集。则由集合方程 $MT=T+\mathcal{D}$ 定义的唯一非空紧集 $T=T(M,\mathcal{D})$ 若其内部非空，则称为整自仿射瓦片。若 $\mathcal{D}$ 形如 $\mathcal{D}=\{0,v,\ldots, (|\det M|-1)v\}$，则称 $T$ 具有共线数字集。本文致力于研究具有共线数字集的整自仿射瓦片的拓扑。特别地，我们证明了一大此类瓦片同胚于闭 $3$ 维球。此外，我们证明在此情形下 $T$ 携带一个自然的 CW 复形结构，该结构由 $T$ 与由 $T$ 诱导的格铺砌 $\{T+z\,:\, z\in \mathbb{Z}^3\}$ 中其邻域的交集所定义。该 CW 复形结构同构于由截角八面体定义的 CW 复形。