边界为球面的自仿射瓦片

设 $M$ 为一个 $3\times 3$ 整数矩阵，其每个特征值的模均大于 $1$，并设 $\mathcal{D}\subset\mathbb{Z}^3$ 为一个满足 $|\mathcal{D}|=|\det M|$ 的集合，称为数字集。集合方程 $MT = T+\mathcal{D}$ 唯一确定一个非空紧集 $T\subset \mathbb{R}^3$。若 $T$ 具有正的勒贝格测度，则称其为 $3$ 维自仿射瓦片。本文研究具有共线数字集的 $3$ 维自仿射瓦片的拓扑性质，即数字集形如 $\mathcal{D}=\{0,v,2v,\ldots, (|\det M|-1)v\}$（其中某 $v\in\mathbb{Z}^3\setminus\{0\}$）的瓦片。我们证明：当此类瓦片 $T$ 在由 $T$ 自然诱导的格铺砌中的邻集含有 $14$ 个元素时，其边界同胚于 $2$-球面。该格铺砌的组合结构与截角立方密铺（一种由截角八面体构成的心立方格铺砌）相同。我们根据 $M$ 的特征多项式的系数刻画了具有共线数字集且在格铺砌中有 $14$ 个邻元的 $3$ 维自仿射瓦片。证明中我们使用了 R. H. Bing 关于球面拓扑刻画的结论。